量子纠缠现象的本质可以通过线性代数（特别是向量空间、张量积和基变换等概念）得到精确的数学描述。以下是线性代数在理解量子纠缠中基础性作用的详细解析：
1. 量子态：向量与希尔伯特空间
- 数学基础： 量子系统的状态由希尔伯特空间（完备的内积空间）中的单位向量表示，称为态矢量，记作 |ψ>（狄拉克符号）。
- 单粒子示例： 一个量子比特（qubit）的状态空间是二维复希尔伯特空间，其标准基为 |0> = [1, 0]ᵀ 和 |1> = [0, 1]ᵀ。任意态可表示为：
|ψ> = α|0> + β|1>，其中 α, β ∈ ℂ 且 |α|² + |β|² = 1。
2. 复合系统：张量积空间
- 数学基础： 由系统 A 和 B 组成的复合系统，其状态空间是各自希尔伯特空间的张量积：ℋ_{AB} = ℋ_A ⊗ ℋ_B。
- 维度： 若 dim(ℋ_A) = m, dim(ℋ_B) = n，则 dim(ℋ_{AB}) = m × n。
- 基的构造： ℋ_{AB} 的标准基由 {|i>_A ⊗ |j>_B} 构成（i=1..m, j=1..n）。例如，两个量子比特的基为：
|0>⊗|0>, |0>⊗|1>, |1>⊗|0>, |1>⊗|1>。
3. 可分离态与纠缠态
- 可分离态： 若复合系统状态可写成单粒子态的张量积形式：
|ψ_{AB}> = |ψ_A> ⊗ |ψ_B>，
则称为可分离态。此时 A 和 B 的状态独立。
- 纠缠态： 若 |ψ_{AB}> 无法写成上述形式，则称为纠缠态。这是量子纠缠的核心特征。
数学判据：施密特分解
对任意纯态 |ψ_{AB}>，存在正交基 {|u_i>_A} 和 {|v_i>_B} 及系数 λ_i ≥ 0，使得：
|ψ_{AB}> = Σ_{i=1}^d λ_i |u_i>_A ⊗ |v_i>_B，其中 Σ λ_i² = 1。
- 纠缠的量化：
- 施密特秩 (d)： 非零 λ_i 的个数。
- d = 1 → 可分离态（|ψ_{AB}> = |u_1>⊗|v_1>）。
- d > 1 → 纠缠态。
- 熵纠缠度： E(ψ) = -Σ λ_i² \log_2 λ_i²，d>1 时 E > 0。
4. 贝尔态：典型纠缠态
以下是最简单的两量子比特纠缠态（贝尔基），它们无法分解为单粒子张量积：
贝尔态
向量表示 (计算基)
施密特分解
|Φ⁺> = (|00> + |11>)/√2
[1/√2, 0, 0, 1/√2]ᵀ
λ₁=λ₂=1/√2，d=2
|Φ⁻> = (|00> - |11>)/√2
[1/√2, 0, 0, -1/√2]ᵀ
同上
|Ψ⁺> = (|01> + |10>)/√2
[0, 1/√2, 1/√2, 0]ᵀ
同上
|Ψ⁻> = (|01> - |10>)/√2
[0, 1/√2, -1/√2, 0]ᵀ
同上
纠缠性证明（以 |Φ⁺> 为例）：
假设存在 |ψ_A> = a|0> + b|1>, |ψ_B> = c|0> + d|1>，则：
|ψ_A>⊗|ψ_B> = ac|00> + ad|01> + bc|10> + bd|11>。
要求其等于 (1/√2)|00> + (1/√2)|11>，需满足：
ac = 1/√2, ad = 0, bc = 0, bd = 1/√2。
由 ad=0 和 bc=0 推出 a=0 或 d=0，以及 b=0 或 c=0，均导致矛盾（如 a=0 则 bd=1/√2 但 ac=0≠1/√2）。故 |Φ⁺> 不可分离。
5. 测量与关联
示例（|Φ⁺> 态中测量 A）：
- 测 A 得到 0 的概率：p_0 = |<00|Φ⁺>|² + |<01|Φ⁺>|² = |1/√2|² + 0² = 1/2
此时 B 的态：(_A<0|⊗I_B)|Φ⁺>/√p_0 = (|0>_B)/√(1/2) * (1/√2) = |0>_B
- 类似地，测 A 得 1 时，B 必定为 |1>。
6. 纠缠与酉演化
- 操作独立性： 局部门（U_A ⊗ I_B 或 I_A ⊗ U_B）无法产生或消除纠缠。
- 纠缠门： 非局部门（如 CNOT）可生成纠缠：CNOT = |0><0|⊗I + |1><1|⊗X （X 是比特翻转）
CNOT(|+>⊗|0>) = CNOT( (|00> + |10>)/√2 ) = (|00> + |11>)/√2 = |Φ⁺>
线性代数体现： CNOT 在 |00>, |01>, |10>, |11> 基下的矩阵为：
[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 0 1]
[0 0 1 0]
作用在可分离态 [1/√2, 0, 1/√2, 0]ᵀ 上得到纠缠态 [1/√2, 0, 0, 1/√2]ᵀ。
7. 密度矩阵描述
- 纯态： ρ = |ψ><ψ|（投影算子）。
- 纠缠的判据（部分迹）：
- 对可分离态 ρ_{AB} = ρ_A ⊗ ρ_B，有 tr_B(ρ_{AB}) = ρ_A。
- 对纠缠态，约化密度矩阵 ρ_A = tr_B(ρ_{AB}) 是混合态（Tr(ρ_A²) < 1）。
示例： ρ_{Φ⁺} = |Φ⁺><Φ⁺|，则
ρ_A = tr_B(ρ_{Φ⁺}) = \frac{1}{2}|0><0| + \frac{1}{2}|1><1| = \frac{I}{2}，
其纯度 Tr(ρ_A²) = 1/2 < 1，表明 A 单独处于最大混合态。
结论
量子纠缠的本质是复合希尔伯特空间中态矢量的不可分性，其数学核心是：
张量积空间（ℋ_A ⊗ ℋ_B）的构造，
施密特分解对纠缠的判定与量化，
测量算符（M_A ⊗ I_B）与
部分迹（tr_B）对子系统的描述，
酉算子（尤其是非局部门）对纠缠的操控。
线性代数提供了描述量子态、演化、测量及关联的精确框架。量子纠缠的非经典特性（如非定域关联）正是希尔伯特空间结构和张量积性质的直接体现，彰显了线性代数在量子力学中的基础性地位。
